آشنايي مقدماتي با فلسفه رياضيات1

فلسفه معمولا به عنوان يك فعاليت و نيز به عنوان موضوعي ذهني تعريف مي شود . برخي از فلاسفه در سالهاي اخير فلسفه را به  متافيزيك(مابعدالطبيعه) – معرفت شناسي – منطق و ارزش شناسي  تقسيم كردند. بعضي مواقع فلسفه براساس تعدادي سوال هاي كلي تعريف ووو تقسيم بندي مي شود . مثل

ماهيت وجود چيست ؟

ماهيت حقيقت چيست؟

اعتبار چيست؟

ماهيت معرفت چيست ؟

ماهيت زيبايي چيست ؟

خوبي چيست؟

بعضي از فلاسفه اين گونه سوالها را سوالهاي اساسي فلسفه ناميده اند. پس از پژوهش ها و حدس زدنها درباره اين سوالهاست كه زمينه هايي به نامهاي وجودشناسي ، منطق يا روش شناسي ، معرفت شناسي ، زيبا شناسي و فلسفه اخلاق به وجود مي آيد . هنگلمي كه فرد يا گروهي از افراد پاسخ هاي منطقي براي گستره اي از چنين سوالها تنظيم مي كنند ، اين نظم معمولا به عنوان « يك فلسفه » ناميده مي شود .

اين فلسفه ها به نوبه خود ممكن است طبقه بندي شوند و بر حسب روشي كه آنان در پاسخگويي به اين سوالهاي اصولي مي پردازند معمولا ايده آليسم ، واقعگرا ، پراگماتيسم ، مفهوم گرا و نظاير ان ناميده مي شوند .

 

سوزانا لانگر:

«« يك فلسفه بيشتر توسط تنظيم مساله هاي خود مشخص مي شود تا راه حلهايش براي انان »»

حال در فلسفه رياضيات ، اينكه مباني رياضيات بر چه چيزهايي قرار دارد بحث مي شود و همچنين فلسفه هاي رياضي كوشش مي دارند تا به سوالهايي نظيرعدد چيست ؟  ذوات رياضي چگونه ماهيتي دارند ؟ پاسخ دهد.

 

نلسون گودمن:

«« شايد روزي فرا سد كه در فلسفه بيشتر (بررسي) انجام گيرد تا (مجادله) و فلاسفه همانند صاحبان علم بيشتر برحسب عناويني كه بررسي مي كنند شناخته شوند تا نظرياتي كه دارند»»

 

برتراند راسل :

«« فلسفه اي مناسب است كه با مطالب مورد علاقه مردم تحصيل كرده معمولي سروكار داشته باشد ، و اگر فقط چند نفري از افراد حرفه اي بتوانند آنچه را كه گفته مي شود بفهمند ، فلسفه ، بسياري از ارزش هاي خود را از دست مي دهد »»

 

سي . اي . لويس :

«« يكي از ويژگي هاي ممتاز فلسفه اين است كه فلسفه كار هر كسي است »»

 

نلسون گودمن :

«« فلسفه به عنوان نقشي است براي روشن ساختن پيچيدگي و درهمي سطوح پايين ترين تا بالاترين سطوح تفكر »»

 

يعني تصور يك محصل دبستاني از مفهوم عدد با تصور و برداشت يك دانش آموز دبيرستاني متفاوت است و نيز معنايي كه يك دانش آموز يا دانشجو از عدد در ذهن دارد با معنايي كه يك رياضيدان در مخيله دارد متفاوت است . كار فلسفه رياضي اين است كه همه اين تطورات را روشن ساخته و به سطوح مختلف مفاهيم عدد معنايي واحد ببخشد .

 

اچ . گوردون هولفيش :

««فلسفه ماموريت دارد به انسان در تفكر عميق تر به نتايج روزانه اش كمك كند تا انسان بتواند با حكمتي بيشتر ، آن نتايجي را برگزيند كه به همه انسانها كمك مي كند تا تفكرشان را عميق تر سازند »»

پلوتارك مي گويد «« سقراط نه صندلي براي شاگردانش چيده بود و نه بر كرسي مي نشست ، نه ساعاتي براي سخنرانيهاش از پيش تعيين مي كرد . او هميشه ، در حال فلسفيدن بود . هنگامي كه لطيفه مي گفت ، موقعي كه در حال آشاميدن بود ، در آن حال كه در خدمت سربازي بود ، هر جا شما را در خيابان ملاقات مي كرد ، و سرانجام هنگامي كه در زندان بود و زهر را نوشيد »» اين برداشت از فلسفه با آثار بسياري از مربيان برجسته فلسفه ما در تضاد شديد است . بخشي از تعارض آشكار ميان آنچه فيلسوفان مي گويند كه فلسفه چيست و انچه برخي از مربيان فلسفه درباره آن مي گويند و مي نويسند ممكن است به اين حقيقت برگردد كه مربيان خواسته اند از مسئله هاي عمومي انسان به دور باشند و همچنين ممكن است مربوط به اين حقيقت باشد كه مسئله هاي عمومي انسان آنقدر غير معمولي مورد توجه انسان معمولي قرار مي گيرد كه مردم عموما آنها را در هنگامي كه هدف مطالعه جدي قرار مي گيرد تشخيص نمي دهند . در هر حال ، از زمان افلاطون گفته اند كه او آن موقع پيشنهاد كرد كه پادشاهان بايد فيلسوف باشند . در ذهن خود ، مربيان و استادان  فلسفه را در نظر نداشت . ماهيت فلسفه از دو ويژگي (بازتابشي) و (خود پيروي) برخوردار است . نظر برخي از فيلسوفان بر اين است كه روش شناسي و محدوديت هاي اين رشته از درون تعريف شده اند و اين به معني خود پيروي است كه در جهت كشف انتقادي و منطقي تجربه انسان به كار گرفته مي شود .

چنين برداشتي از فلسفه ايجاب مي كند كه منطقي بودن ، توسط فلسفه تعريف شود .

 

وتيگنشتاين:

«« فلسفه نظريه نيست بلكه عمل است »»

يك اثر فلسفي لزوما مركب از توضيحات است ، نتيجه فلسفه تعدادي قضيه هاي فبسفي نيست ، بلكه روشن ساختن قضيه هاست. مثلا هدف فلسفه رياضي ، اثبات قضيه ها و توسعه تئوريهاي رياضي نيست ، بلكه پاسخ به سوالهاي فلسفي در باب اين قضيه هاست ، و نيز روشنتر ساختن روشي است كه براي اثبات انها به كار گرفته مي شد .

 

فلسفه هر علم ، نقد آن علم است .

 

اهم امور فلسفه :

1-معرفت از حقيقت امور

2-دريافت روابط ايده ها يا نظريات

3-قضاوت هاي ارزشي

 

يك فلسفه سعي دارد تا ميان ايده هايي كه به نظر متفاوت مي رسند تشابه برقرار كند . همچنين يك فلسفه كوشش مي كند تا وجه تمايز ايده ها و اشيايي را كه در وهله اول به نظر يكسان مي آيند آشكار سازد. براي نمونه در فلسفه رياضي كوشش مي شود تا وجه تمايز اشيا(مختلفي) را كه تحت عنوان عدد مورد مطالعه قار مي گيرند و در وهله اول يكي انگاشته مي شوند آشكار سازد .

( مفاهيم عدد طبيعي ، عدد صحيح ، عدد حقيق ، عدد مختلط همگي انواع عدد هستند كه روابط منظم انها معمولا در دروس رياضي ارائه نمي گردد)

 

علم و فلسفه :

مقصد نهايي علم اصلاح و گسترش معرفت ما از حقيقت امور است ، در حالي كه مقصد نهايي فلسفه بهبود كيفيت قضاوتهاي ارزشي ما است . ممكن است يك دانشمند به كاوش اكتشافي طولاني در رياضيات بپردازد كه به نظر با گسترش معرفت ما از حقيقت امور بي ارتباط است. بنابراين يك فيلسوف هم ممكن است به تحليل منطقي گسترش يافته مطالبي بپردازد كه به نظر براي بهبود قضاوت هاي ارزشي ما بي ربط باشد. ولي هنگامي كه چنين كاوش ها يا تحليل ها سرانجام به يكي از آنها منتج نگردد، آنها صرفا بيش از آنكه واقعا علمي يا فلسفي باشند ، رياضي يا منطقي هستند .

وقتي مي گوييم هدف فلسفه بهبود كيفيت قضاوتهاي ارزشي ما است ، منظورمان اين است كه كاوش فلسفي بايد در جهت فهم تجربه به طرفي هدايت شود كه ما را براي حركت از آنچه كه درباره حقيقت امور مي دانيم به قضاوت هاي درست قادر سازد .

اين قضاوتها هم به چيزي مي پردازد كه ارزش آن را دارد تا در موقعيت هاي خاصي كه در آن قرار مي گيرد داراي ارزش شود و هم به اين مي پردازد كه چه بايد كرد تا ارزشها بتوانند تحقق يابند . چنين فهمي در برابر معرفت اغلب به نام (حكمت) خوانده مي شود .

تمايز ديگر بين علم و فلسفه در نحوه ارائه سوالها است . هرگاه پرسش هايي از اين دست را مطرح كنيم  كه عدد چيست ؟ آيا هندسه تبيين فيزيكي جهان خارج است يا علمي است مجرد و ذهني؟ سوالهايي فلسفي مطرح كرده ايم زيرا اينگونه سوالها ، سوالهايي كلي اند كه با ماهيت و وجود ارتباط پيدا مي كنند . ولي وقتي بپرسيم كه مثلا عدد مختلط چيست؟ و يا اينكه بيان قضيه فيثاغورث در هندسه چگونه است؟ سوالهايي علمي را مطرح كرده ايم ، زيرا اينگونه سوالها يا آنكه پرسشهايي خاص هستند و يا چنانكه صورت كلي داشته باشند با ارائه سطحي از معرفت پاسخ داده مي شوند.

آموزش رياضيات در مدارس  آري يا نه ؟!

 

ده ها سال است كه آموزش رياضي در برنامه هاي درسي جاي نماياني را گرفته است . و اين كاملا طبيعي است ، زيرا علاوه بر آنكه نظريه هاي رياضي ، عامل اساسي پيشرفت دانش و صنهعت در زمان ماست ، روشهايي كه در رياضيات به كار مي رود ، مي تواند در ساير زمينه ها ي تفكر انساني ، نمونه قرار گيرد و آدمي را از كج انديشي دور كند . ولي آيا آنچه كه در برنامه هاي درسي ، به آموزش رياضي اختصاص داده شده است ، براي اين منظور كافي است ؟ اگر از نارسايي هاي برنامه و كتاب و معلم بگذريم و اگر وجود كتابهاي سطحي و ويران كننده - حل المسايل – را نديده بگيريم و فرض را بر اين بگذاريم كه همه اينها در مرز بالاي درستي و دقت و شايستگي باشد ، باز هم به سادگي مي توان احساس كرد كه اموزش مدرسه اي نمي تواند جوابگوي نياز هاي  امروزي باشد ، زيرا

 

اولا آموزش مدرسه اي تنگ و محدود است : برنامه و كتاب و معلم ، بايد با ساعت هاي محدود درس كلاسي تطبيق كند و فرصت تفكر و كاوش را از همه مي گيرد . ساعت هاي محدودي هم كه در هفته به درس رياضي مربوط مي شود ، بايد صرف بازرسي شاگردان ، گفت و شنود در زمينه هاي بي معني مربوط به مطالب غير رياضي و احيانا يك سخنراني كوتاه معلم درباره درس تازه بشود . تعداد زياد شاگردان و نبودن محيط مناسب كار، امكان هر گونه تفكر سالم را در كلاس ف از شاگرد و معلم مي گيرد و كار آنها را تبديل به نوعي كار تشريفاتي مي كند . اين وضع نتيجه طبيعي كار مدرسه اي است و تنها با تلاش فراوان ، ممكن است بتوان تا حدي آنرا تعديل كرد .

 

 ثانيا آموزش مدرسه اي هدفي غير علمي را دنبال مي كند : وجود نمره و امتحان و بالاخره مدرك تحصيلي و مزاياي قانوني ان ، به طور طبيعي اموزش مدرسه اي را از كار سالم و عميق دور مي كند و انرا به صورت مركزي در مي آورد ، كه همه براي رسيدن به ديپلم و ليسانس و غيره آن ، با هم مسابقه مي دهند . خود اين صورت امتحان و نمره دادن و بازرسي كارهاي شبانه دانش آموز و دانشجو هم داستان شگفتي است كه نمي دانيم چگونه مي خواهند به كمك آنها استعداد ها را بشناسند و شور و شوق علاقه مندان را زياد كنند . در همه جاي دنيا ثابت شده است كه اين شيوه ارزشيابي نادرست است و هرگز نمي تواند معياري براي شناسايي استعدادها و يا وسيله اي براي پيشرفت انديشه جوانان باشد .

 

ثالثا حرفه معلمي ، به صورتي كه وجود دارد ، خود نابود كننده استعداد ها است . تجربه نشان داده است  كه قريب به اتفاق معلمين ، با شروع كار خود ، دست از مطالعه و تحقيق بر مي دارند و چون خود را از رقباي خود در حرفه هاي ديگر ، از نظر مالي و حيثيت اجتماعي ، عقب تر مي بينند ، مي كوشند تا با تدريس زيادتر ( اضافه كاري ) عقب ماندگي خود را جبران كنند . اينها بعد از مدتي ، به صورت آدم هايي در مي آيند كه به طور طبيعي از خصلتهاي يك مربي ( به مفهومي كه تعريف مي كنند ) دور شده اند . اينها به خاطر كار زياد و به خاطر تكرار يكنواخت مطالب در سالهاي متوالي ، قدرت خلاقه ذهني را به تدريج از دست مي هند و جز در چار چوب "درس تخصصي" خود ، آن هم تنها بر روالي كه بارها تكرار  كرده اند ، از تفكر در زمينه هاي ديگر ، باز مي مانند . تنها آنها كه به اين درد واقف اند و دائما با آن مي جنگند مي توانند، آن هم تا حدي ، در تسكين آن موفق شوند . اين گناه معلم نيست ، بلكه نتيجه حرفه معلمي به شيوه امروزي آن است .

 

چه بايد كرد ؟ آيا ، اين به معناي آن است كه بايد آموزش مدرسه اي را رها كرد ؟ اين چيزي است كه بايد آنهايي كه صلاحيت اين بحث را دارند ، به آن بپردازند ، ولي راههايي وجود دارند كه مي توان ند تا حدي اين نارسايي ها را برطرف كنند كه يكي از آنها ، وجود كتاب هاي غير درسي است . اگر اين كتابها درست انتخاب شوند و اگر به خوبي در دسترس جوانان ما باشد ، مي تواند ذوقها و استعداها را به طرف خود جلب كند و با پيدا كردن نيروي ذهني نهفته آنها ، در كار بارور كردن انديشه هايشان ، موثر باشد .

 

رياضيات دوجهت به ظاهر متفاوت دارد : از يك طرف بيش از حد انتزاعي است و رابطه ها و نظريه هاي آن ، تنها در ارتباط با هم ، شناخته مي شود ، ولي از طرف ديگر پيشاهنگ همه دانش هاست  و همه آنها ، و به طبع آنها ، صنعت و زندگي امروزي ، وابسته به رياضيات است .

 

ناچيز گرفتن هر كدام از اين دو طرف ، زيان هاي جبران ناپذيري به بار مي آورد. كسي كه مي خواهد با رياضيات كار كند ، بايد هم به نيروي دروني آن ( رابطه ها ، قضيه ها ، نظريه ها و بخصوص روشهاي استدلال ) توجه كند و هم به نيروي بيروني آن ( كاربرد آن در ديگر دانشها و در صنعت ، رابطه عميق و جدي آن با عمل و زندگي روزانه ، پيوستگي تاريخي آن و بالاخره ، رابطه اي كه با نياز هاي زمان دارد ) .

مجموعه فرمولهای رياضي مورد نياز براي علاقمندان رشته های ریاضی و آمار با فرمت pdf و حجم 153 كيلوبايت!!!

اينجا كليك كنيد؟

توزيع هاي مهم پيوسته و گسسته آمار و احتمال1و2 همراه با اميدرياضي

واريانس و تابع مولد تك تك توزيعها

دريافت : گسسته

مسئله هوش پيما :

فردي از دهكده خود به سرعت 3 كيلومتردر ساعت روانه دهكده ديگري شد ولي پس از پيمودن 3 كيلومتر حساب كرد كه اگر به همين روش ادامه دهد 40 دقيقه ديرتر به آن دهكده خواهد رسيد ، بنابراين بقيه راه را با سرعت 4 كيلومتر در ساعت حركت كرد و درنتيجه 45 دقيقه زودتر به دهكده رسيد حال فاصله دو دهكده چقدر بوده است ؟

در این پست میخواهم یک مسئله قدیمی و جالب انیشتین را برایتان بگذارم تا خودتان را آزمایش کنید

 

مساله ي انيشتن
آیا شما در زمره دو درصد افرادباهوش در دنیا هستید؟ پس مساله زیر را حل کنید و دریابید در میانه افراده باهوش جهان قرار دارید یا خیر! هیچگونه کلک و حقه ای در این مساله وجود ندارد، و تنهامنطق محض می تواند شما را به جواب برساند.

۱-در خیابانی، پنج خانه در پنج رنگ متفاوت وجود دارد.
۲-در هر یک از این خانه ها یک نفر با ملیتی متفاوت از دیگران زندگی می کند.
۳-این پنج صاحبخانه هر کدام نوشیدنی متفاوت مینوشند، سیگار متفاوت می کشند و حیوان خانگی متفاوت نگهداری می کنند.

 

 سئوال: کدامیکاز آنها در خانه، ماهی نگه می دارد؟
راهنمایی:
۱- مرد انگليسي در خانه قرمز زندگی می کند.
۲- مرد سوئدی، یک سگ دارد.
۳- مرد دانمارکی چای می نوشد.
۴- خانهسبز رنگ در سمت چپ خانه سفید قرار دارد.
۵- صاحبخانه خانه سبز، قهوه مینوشد.
۶- شخصی که سیگار Pall Mall می کشد پرنده پرورش می دهد.
۷- صاحب خانهزرد، سیگار Dunhill می کشد.
۸- مردی که در خانه وسطی زندگی میکند، شیر مینوشد.
۹- مرد نروژی، در اولین خانه زندگی می کند.
۱۰-مردی که سیگار Blends می کشد در کنار مردی که گربه نگه می دارد زندگی می کند.
۱۱-مردی که اسب نگهداریمی کند، کنار مردی که سیگار Dunhill می کشد زندگی می کند.
۱۲-مردی که سیگار Blue Master می کشد، آبجو می نوشد.
۱۳-مرد آلمانی سیگار Prince میکشد.
۱۴-مرد نروژی کنار خانه آبی زندگی می کند.
۱۵-مردی که سیگار Blends میکشد همسایه ای دارد که آب می نوشد.

آلبرت انیشتن این معما را در قرن نوزدهم میلادی نوشت، به گفته وی ۹۸% از مردم جهان نمی توانند این معما را حل کنند! شماچطور؟؟؟

البته بگم که من در مدت ۴۵ دقیقه حلش کردم شما چی ؟

پس زمان را برای خودتان محاسبه کنید .

یا شاید هم جز آن ۹۸ درصد هستید

ریاضیات محض و کاربردی

ماهیت کار

از طرف دیگر ،

ادامه مطلب...

بی نهایت

 (از واژه لاتین "finitus" به معنی "محدود" گرفته شده – علامت ریاضی: ∞) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیتی زمانی و فضایی وجود ندارد.در ریاضیات، با اصطلاح "انتقال-از-محدود(transfinite)" مشهور است؛ و چیزی است که فقط محدود نباشد، ولی ممکن است محدودیتهای دورتر از آن داشته باشد.

• نگرش باستانی در مورد بینهایت
• نگرش های نوین آغازین
• ادراک ریاضی
• نظریات مدرن                                     

ادامه مطلب...

زيرشاخه‌هاي رياضيات

 

1-مثلثات ( تاريخچه مثلثات -  تابع مثلثاتي – معادلات مثلثاتي – مثلثات كروي – سري مثلثاتي )

 

2-حساب ( تابع–دنباله–سري–حد –پيوستگي –مشتق –كاربرد مشتق –انتگرال –معادلات ديفرانسيل –حساب برداري )

 

3-آناليز ( توپولوژي – آناليز حقيقي – آناليز تابعي – آناليز رياضي – آناليز مختلط – آناليز عددي – آناليز هارمونيك )

 

4-رياضيات گسسته ( نظريه مجموعه ها –نظريه گراف –ماتريس مجاورت گراف –اصول شمارش –آناليز تركيبي – منطق رياضي – اصل استقراي رياضي – اصل لانه كبوتر – اصل شمول و عدم شمول –نظريه احتمال –روابط بازگشتي – تئوري اعداد )

 

5-جبر

# جبر عمومي ( استقرا – معادله – نامعادله – اتحاد – تجزيه – تصاعد )

# جبر مجرد ( عمل دوتايي – گروه – ميدان – همساني – حلقه )

# جبر خطي ( دستگاه معادلات خطي – ماتريس – فضاي برداري – نگاشت خطي – مقدار ويژه )

 

6-هندسه

# هندسه مسطحه ( زاويه – تقارن – مستطيل – چهارضلعي – چندضلعي – تشابه – دايره – مكان هندسي – بيضي –          هذلولي – سهمي )

# هندسه فضايي ( مكعب – منشور – استوانه – هرم – مخروط – چندوجهي ها – كره – رويه – خم – كنج )

# هندسه ديفرانسيل ( نظريه خم – نظريه رويه – هندسه ريماني – جسم محدب – هندسه ديفرانسيل )

# هندسه تحليلي ( نگاشت – دستگاههاي مختصات – تبديلات مختصات – مقاطع مخروطي – بردار – ضرب داخلي – ضرب خارجي – تبديلات هندسي )

 

يکي از رياضيدانان قرن سيزدهم ميلادي در اروپا لئونارد بوناکسي( 1170-1220) م. رياضيدان ايتاليايي است. وي که مدتها در مشرق زمين اقامت کرده بود، آثار برخي از دانشمندان اسلامي را از آنجا به ارمغان آورد. وي براي اولين بار در اروپا علم جبر را در هندسه مورد استفاده قرار داد. در قرن پانزدهم و در قرن شانزدهم دانشمندان ايتاليايي ها در حساب عدد ، جبر و مکانيک ترقيات شايان کردند.در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه دانشمندي به نام فرانسوا اويت ( 1540-1603 ) م. به پيشرفت علوم رياضي خدمات ارزنده اي نمود.مثلثات جديد نيز حاصل زحمات اوست. او نخستين رياضيداني بود که براي حل مسئله ترسيم دايره اي مماس بر سه دايره ديگر راه حل هندسي بدست آورد و ريشه هاي معادله درجه چهارم را ساخت.رياضيـدانان کشـور هلنـد نيز در پيشـرفت و رشد دانش رياضي بسيـار مؤثربودند. آدرين رومن و سپس آدرين متيوس مقدار تقريبي عدد پي را محاسبه کردند و يکي ديگر از هموطنان آنان به نام وان سولن تا 35 رقم اعشاري آن را بدست آورد.کشف لگاريتم يکي از پيشرفتهاي بسيار مهم در تاريخ علم رياضيات است. کاشف آن جان نپر يا ناپيه ( 1556-1317 م. ) رياضيدان معروف اسکاتلندي است. يکي از آثار او کتاب معروف لگاريتمي است که در سال 1614 م. تأليف کرد.نپر نخستين دانشمندي بود که محاسبه اعشار را جانشين محاسبات کسري معمولي نمود.عصاي نپر ،اسبابي بوده که براي تسهيل اعمال رياضي که عمل ضرب را جانشين جمع و عمل تقسيم را جانشين تفريق ساخته است. نظير خط کش محاسبه که امروزه مورد استفاده مهندسين است.

لوئي پوانو(1777-1859م.) نيز از رياضيدانان برجسته قرن نوزدهم است.در نيمـة قـرن نوزدهـم کشـف جورج گرين (1793-1841م. ) رياضيــدان انگليسي و شارل فردريک کائوس يا گاوس (1777-1855م.) رياضيدان آلماني توجة بسياري از دانشمندان را جلب کرد.

يکي ديگر از رياضيدانان بزرگ در قرن نوزدهم اوگوستن لوئي کوشي(1789-1857م.) فرانسوي است که در همه رشته هاي رياضيات محض و کاربردي اکتشافاتي داشت، ولي خدمت بزرگ وي آن بود که آناليز رياضي را بر مباني محکم استوار ساخت.کوشي رياضيات – مخصوصاً آناليز- را نسبت به قرن هيجدهم سخت دگرگون ساخت.ويليام راون هاميلتون (1805-1865م. ) ايرلندي بدون ترديد يکي از نوابغ قرن نوزدهم بود.نبوغ و استعداد شگفت او از دوران کودکي اش معلوم شد. او حتي در 5 سالگي متون لاتيني و يوناني و عبري را مي خواند و ايتاليايي و فرانسوي را در 8 سالگي و عربي وسانسکريت را در 10 سالگي آموخت و در 14 سالگي براي سفير ايران خطابه خوشامدي به زبان فارسي تهيه کرد.اين استعداد بي مانند به زودي متوجة علوم گرديد، بطوري که در 17 سالگي تمام حساب انتگرال را به خوبي مي دانست و خسوف و کسوف را به خوبي پيش بيني مي کرد و در 22 سالگي استاد نجوم گرديد.

تاريخ رياضيات گذشته از وقايع شيرين ، وقايع مصيبت بار را نيز ثبت کرده است. داستان گم شدن کشف بزرگ نيل هنريک آبل  ( (1802-1829م رياضيدان جوان و نابغه نروژي يکي از آنهاست. آپل که از نبوغي شگفت انگيز برخوردار بود در 22 سالگي ثابت نمود که صرف نظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم، هيچ دستور جبري که بتواند معادله درجه پنجم را به نتيجه برساند وجود ندارد .آبل مقاله اي درباره خاصيت عمومي طبقه بسيار وسيعي از توابع غير جبري انتشار داد.آبل در اين مقاله با ذکر کامل تمام فرمولها که پس از رنج بسيار فراهم کرده بود انتگرالهاي بيضوي معروف به انتگرالهاي لژاندر را مورد مطالعه قرار داده و مطالب جديدي را کشف کرده بود که به راستي ارزش بسيار داشت. آبل کشف ذيقيمت خود را به کوشي سپرد، اما کوشي آن را گم کرد.

قدرت اعداد

 او اعداد يك تا صد را به رديف پشت سرهم نوشت، سپس بار ديگر همين اعداد را بالعكس، اين بار از صدتا يك، درست در رديف زيرين اعداد قبلي نوشت. طوري كه هر عدد زير عدد رديف بالاتر قرار گرفت.وي مشاهده كرد كه مجموع هر كدام از ستون هاي به وجود آمده ۱۰۱ است. سپس نتيجه گرفت كه صد تا عدد ۱۰۱ داريم كه حاصل مجموع آنها مي شود

۵۰۵۰=۱۰۱۰۰/۲

براي مثال رشته اعداد ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶ و... را در نظر بگيريد. اگر كمي دقت كنيد متوجه مي شويد كه هر عدد نسبت به عدد قبلي خود، دو برابر شده است. به عبارت ديگر در اين رشته از اعداد با توان هايي از عدد ۲ و يا اعداد ديگر مواجه هستيم.

يعني :۲^۰ ،^۱ ۲ ،^۲ ۲، ۲^۳ ،۲^۴ ،... كه به ترتيب از راست به چپ مي شود ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶،...

در گذشته هاي دور، يكي از پادشاهان هندوستان به ازاي ياد دادن سرگرمي خوبي به او، جايزه بزرگي تعيين كرد. مي دانيد كه هندي ها در ابداع و اختراع روابط شگفت انگيز بين اعداد بسيار توانا هستند و تاريخچه بلندي در اين زمينه دارند. روزي يكي از همين دانشمندان متبحر كار با اعداد، نزد پادشاه رفت و بازي شطرنج را به او آموخت. كسي چه مي داند، شايد بازي شطرنج از همان زمان اختراع شده باشد.اين مرد زيرك به ازاي سرگرمي خوبي كه به پادشاه آموخته بود از وي خواست تا به ازاي ۶۴ خانه شطرنج به او گندم دهد. بدين ترتيب كه از يك دانه گندم براي خانه اول آغاز كند و به هر خانه شطرنج كه رسيد تعداد دانه هاي گندم را نسبت به خانه قبل دو برابر افزايش دهد. مثلاً براي روز چهارم پادشاه مي بايست تعداد ۱۶=۲^۴ دانه گندم به مرد فاضل بدهد. مرد خردمند شرط كرد كه در صورت عدم توانايي پرداخت اين گندم ها از سوي پادشاه مي بايد تاج و تخت هندوستان را براي هميشه ترك كند. پادشاه نيز با كمال ميل پذيرفت و در دل به بي خردي آن ناشناس خنديد. مسلماً در روزهاي اول مشكلي وجود نداشت. اما مشكل اصلي از آنجا شروع مي شد كه اين اعداد به صورت شگفت آوري بزرگ مي شدند. در روز دهم تعداد ۱۰۲۴=۲^۱۰ دانه گندم بايد پرداخت مي شد كه تعداد زيادي نيست. اما روز بيستم تعداد قابل ملاحظه اي مي شود يعني ۱،۰۴۸،۵۷۶=۲^۲۰ دانه گندم. فكر مي كنيد وقتي كه به روز آخر يعني خانه شصت و چهارم برسيد چه اتفاقي بيفتد. درست حدس زده ايد پادشاه ما به ....=۲^۶۴ دانه گندم نياز دارد كه اين تعداد گندم با تمام دانه هاي شن و ماسه موجود بر روي زمين برابري مي كند! در روزهاي آخر اين شرط تازه ، پادشاه هند متوجه شد كه چه كلاه بزرگي سرش رفته است اما چاره اي جز كناره گيري از تاج و تخت نبود ! مثال هاي بسياري از اين دست موجود است كه به قدرت شگرف اعداد و بيشتر از آن به قدرت تفكر انسان هايي كه راه سود بردن از آن را بدانند اشاره مي كند.

 

 

 

حساب ، علم اعداد است. واژه انگلیسی حساب ، از کلمه ای یونانی به معنای اعداد گرفته شده است.در آغاز شهرنشینی ، انسان گوسفندان ، گاوها و سایر حیوانات خود را با انگشتانش می شمرد. در واقع کلمة دیژیت که برای شمارش اعداد از 0 تا 9 به کار می رود، از یک کلمة لاتین به معنای انگشت گرفته شده است.بعدها انسان با علامت زدن روی چوب یا درخت ، اشیاء را می شمرد. اما این روش به زودی جای خود را به استفاده از علامتهایی باری هر یک از اعداد داد.هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست. همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است.

 

زیبایی شناسی در ریاضیات

 

کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن می‌پندارند و به همین مناسبت ریاضیدان و معلم ریاضی را فردی عبوس ، بی‌احساس و بی‌ ذوق می‌پندارند و از اینکه کسی که سر و کار و رشته‌اش ریاضیات است، اهل ذوق و هنر و شعر و موسیقی باشد و از آن لذت ببرد، متحیر می‌شوند. آیا به واقع هنر و ریاضیات ، یا به عبارت دیگر ، زیبایی و ظرافت و ریاضی دو مقوله متضاد و دور از هم و ناسازگارند؟ آیا علاقه به ریاضیات و تخصص داشتن در آن ، به معنای بی‌ذوقی ، بی‌احساسی و دور بودن از زندگی است؟ انسان ترکیبی از احساس ، عاطفه و تاثیر پذیری از یک طرف و اندیشه و خرد و داوری منطقی از طرف دیگر است.

 در واقع انسان ، مجموعه‌ای یگانه از جان و خرد است. احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمی‌توان از هم جدا کرد. به قول هوشنگ ابتهاج عشق بی‌فرزانگی ، دیوانگی است. هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سر سبز آرامش می‌یابد و در عین حال به فکر فرو می‌رود.شاعر احساس درونی خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان می‌کند. گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر خود و زبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری گیاه و داروشناس در جستجوی ویژگیهای درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگها یا اندازه‌ها و شکلها را مورد مطالعه قرار می‌دهد. ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان پس علت این گوناگونی در رابطه بین گیاه و انسان ، وجود جنبه‌های گوناگون و گسترده انسان و تجلی آنها در شرایط مختلفی است.

 

 تاریخچه ارتباط ریاضیات و هنر

 در دوران رنسانس ، نقاشان بزرگ ، ریاضی‌دان هم بودند. آلبرتی (1472 - 1404) نخستین نیاز نقاش را هندسه می‌دانست. او بود که در سال 1435 میلادی ، اولین کتاب را درباره پرسپکتیو نوشت. نقاشان و هنرمندان برای جان دادن به تصویرها و القای فضای سه بعدی به آثار خود ، به ریاضیات روی آورند. بنابراین همه نقاشان دوره رنسانس نظیر آلبرتی ، دیودر ، لئوناردو داوینچی ، ریاضی‌دانانی هنرمند یا هنرمندانی ریاضی‌دان بودند. دزارک که خود ، معماری هنرمند بود به خاطر همین نیاز نقاشان و با اثبات قضیه‌ای که به نام خود او معروف است، هندسه تصویری را بنیان نهاد و بعد از آن رفته رفته اصول بیشتری از ریاضیات تائید شد.

 

 چرا ریاضیات و هنر تا این اندازه به هم نزدیکند؟

 طبیعت ، سرچشمه زاینده و بی‌پایانی است برای انگیزه دادن به هنرمند و ریاضی‌دان. آنها از درون خود و از ایده‌ها سود می‌جویند و حقیقت را نه تنها آن گونه که مشاهده می‌شود، بلکه آن که باید باشد و آرزوی آدمی است، می‌بینند. هنر و ریاضیات هر دو کمال و ایده‌آل را می‌جویند.

 

 

ریاضیات کلید طلایی برای زیبایی شناسی

 طبیعت عنصر تقارن را عنوان نشانه زیبایی به هنرمند تلقین می‌کند و سپس ریاضيدان با کشف قانونمندیهای تقارن به مفاهیم شبه تقارن , تقارن لغزنده می‌رسد و کوبیسم را به هنرمند (نقاش ، شاعر یا موسیقی‌دان) تلقین می‌کند. نغمه‌ها و آواهای موجود در طبیعت الهام دهنده ترانه‌های هنرمندان بوده و ریاضیدانان با کشف قانونهای ریاضی حاکم بر این نغمه‌ها و تلاش در جهت تغییر و ترکیب آنها گونه‌های بسیار متفاوت و دل انگیزی در موسیقی آفریده‌اند. هر زمان که محاسبه درست ریاضی در نوشته‌های ادبی رعایت شده، آثار جالب و ماندگار و نزدیک به واقعیت و قابل قبول برای مخاطب خلق شده است. یکی از نمونه‌های این مساله رعایت توجه صحیح آندره یه ویچ در افسانه ثروتمند فقیر به محاسبات ریاضی در داستان خود می‌باشد (البته بدون وارد کردن محاسبات عددی) که آن را به اثری ماندگار و قابل پذیرش تبدیل کرده است. ترسیمهای هندسی و نسبت زرین کمک شایانی به هنرمندان معمار و برج ساز و ... می‌کند.

 

 زیبایی ریاضیات در کجاست؟

 در واقع تمامی عرصه ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان در شیوه بیان موضوع ، در طرز نوشتن و ارائه آن در استدلالهای منطقی آن ، در رابطه آن با زندگی و واقعیت ، در سرگذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد. یکی از راههای شناخت زیباییهای ریاضیات (بخصوص هندسه) آگاهی بر نحوه پیشرفت و تکامل است. جنبه دیگری از زیبایی ریاضیات این است که با همه انتزاعی بودن خود ، بر همه دانشها حکومت می‌کند و جز قانونهای آن ، همچون ابزاری نیرومند دانشهای طبیعی و اجتماعی را صیقل می‌دهد، به پیش می‌برد، تفسیر می‌کند و در خدمت انسان قرار می‌دهد.

 

زیبایی مسائل ریاضی

 برای بسیاری از مسائل ریاضی راه حلهای عادی وجود دارد که وقتی اینگونه مسائل را (با این روشها) حل می‌کنید، هیچ احساس خاصی به شما دست نمی‌دهد و حتی ممکن است تکرار آن شما را کسل کند. ولی وقتی به مساله‌ای برمی‌خورید که همچون دری مستحکم در برابر شما پایداری می‌کند و از هر سمتی به آن حمله می‌کنید ناکام می‌شوید... زمانی که ناگهان جرقه‌ای ذهن شما را روشن می‌کند... عجب!... پس اینطور!... چه زیبا!... و مساله حل می‌شود. در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می‌کنیم. ولی چرا یک راه حل مساله ما را تنها قانع و راضی می‌کند در حالی که دیگری شوق ما را برمی‌انگیزد و شجاعت فکر و ظرافت روش را آن موجب شگفتی ما می‌شود؟ راه حل زیبا باید تا حدی ما را به شگفتی وا دارد ولی تنها وجود یک جنبه نامتعارف و غیر عادی زیبایی استدلال ریاضی را روشن نمی‌کند، بلکه باید عینیت نیز داشته باشد.

 هم ریختی نمونه با پدیده مورد نظر و سادگی درک نمونه و سادگی کار کردن با آن ، مفهوم عینی بودن را تشکیل می‌دهد. با بکار گرفتن عینیت ، زبان دشوار پدیده را به زبان ساده‌تر مدل عینی ترجمه می‌کنیم و نتایج لازم را بدست می‌آوریم.وقتی که دانش آموزی می‌خواهد به تنهایی مساله دشواری را حل کند نمونه عینی پدیده‌ای را باید در مساله شرح دهد، برای خودش بسازد، دشواری مساله‌های نامتعارف در این هست که برای حل آنها باید بطور مستقل نمونه همریخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوی که از پدیده نخستین ساده‌تر باشد. نامتعارف بودن این نمونه و نامنتظر بودن آن به معنای زیبایی و ظرافت راه حل است. زیبایی حل یک مساله را وقتی احساس می‌کنیم که به کمک یک نمونه عینی بدست آید و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقیم به ذهن هر کسی نمی‌رسد و به زحمت در دسترس قرار می‌گیرد.

 

 رابطه زیباشناسی ریاضی

 

نامنتظر بودن + عینی بودن = زیبایی

 

این رابطه به فرهنگ ریاضی مربوط می‌شود و کسی که چنین فرهنگی دارد، دید گسترده‌تری دارد، با کمترین نشانه‌ها ، شباهت بین زمینه‌های مختلف ریاضی را پیدا می‌کند و به کشف رابطه بین آنها و فرمول‌بندی و استفاده از روابط گوناگون بین آنها می‌پردازد. و بدین ترتیب مساله را نامتعارف‌تر و زیباتر از بقیه حل می‌کند و با ساده‌ترین و کوتاه‌ترین و در عین حال جالب‌ترین روش به جواب مساله می‌رسد و موجب شگفتی و لذت خود و بقیه می‌گردد.

 

 

 

اولين ها در رياضي

 اولين زن رياضي دان كه در تاريخ رياضي از او نام برده شده : هيپاتيا
اولين فرد شناخته شده اي كه كشفيات رياضي به او نسبت داده شده : تالس
اولين فردي كه يك كتاب منسجم در هندسه منتشر كرد : بقراط خيوسي
اولين كسي كه تلاش جدي در فلسفه ي رياضي به عمل آورد : افلاطون
اولين كسي كه در مسئله ي تضعيف مكعب به پيشرفت دست يافت : بقراط خيوسي
اولين ارائه دهنده ي برهان براي حل مسئله ي تثليث زاويه به كمك مقاطع مخروطي : پاپوس
اولين فرد يوناني كه ارتباطش با مسئله ي تربيع معلوم است : آناكساگوراس
اولين چاپ اصول اقليدس : سال 1482
اولين فردي كه ترجمه ي انگليسي كاملي از اصول اقليدس ارائه داد : بيلينگزلي
اولين كسي كه كوشش كرد اصول رياضي را تدوين كند : بقراط
اولين كسي كه معادلات درجه دوم را به روش هندسي حل كرد : ديوفانتوس
)برای همین معادلات به این نام شناخته می شد (
اولين كسي كه ترجمه ي عربي واقعا رضايت بخش از اصول اقليدس ارائه كرد : ثابت ابن قره
اولين كسي كه كتابي در حساب به زبان عربي تاليف كرد : خوارزمي
اولين نويسنده ي عربي نويس كه با قضيه ي دو جمله اي در شكل مثلث پاسكال كار كرد : كاشاني
اولين كسي كه علامت هاي + و – را به كار برد : يوهان ويدمان

عدد پی

تاریخچه :

تقریب اعشاری عدد پی :

ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند.از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود

امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته ترین رایانه ها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است.

 

منطق فازی

کاربردها:

حال با یک مثال اهميت اين علم را بيشتر درک مينمائيم: